คณิตศาสตร์: นิยามของฟังก์ชั่น

วันพฤหัสบดีที่ 11 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2559

นิยามของฟังก์ชั่น

ฟังก์ชัน

f

จากข้อมูลนำเข้าในเซต

X

ไปยังผลที่เป็นไปได้ในเซต

Y

(เขียนเป็น

f:X\rightarrow Y

) คือความสัมพันธ์ระหว่าง

X

กับ

Y

ซึ่ง

สำหรับทุกค่า $x$ ใน $X$ จะมี $y$ ใน $Y$ ซึ่ง $x f y$ ( $x$ มีความสัมพันธ์ $f$ กับ $y$ ) นั่นคือ สำหรับค่านำเข้าแต่ละค่า จะมีผลลัพธ์ใน $Y$ อย่างน้อย $1$ ผลลัพธ์เสมอ
ถ้า $x f y$ และ $x f z$ แล้ว $y = z$ นั่นคือ ค่านำเข้าหลายค่าสามารถมีผลลัพธ์ได้ค่าเดียว แต่ค่านำเข้าค่าเดียวไม่สามารถมีผลลัพธ์หลายผลลัพธ์ได้

ค่านำเข้า

x

แต่ละค่า จากโดเมน จะมีผลลัพธ์

y

จากโคโดเมนเพียงค่าเดียว แทนด้วย

f (x)

จากนิยามข้างต้น เราสามารถเขียนอย่างสั้นๆได้ว่า ฟังก์ชันจาก

X

ไปยัง

Y

คือเซตย่อย

f

ของผลคูณคาร์ทีเซียน

X \times Y

โดยที่แต่ละค่าของ

x

ใน

X

จะมี

y

ใน

Y

ที่แตกต่างกัน โดยที่คู่อันดับ

(x, y)

อยู่ใน

f

เซตของฟังก์ชัน

f:X\rightarrow Y

ทุกฟังก์ชันแทนด้วย

Y^X

เรียกว่าปริภูมิฟังก์ชัน สังเกตว่า

|Y^X| = |Y|^{|X|}

(อ้างถึง จำนวนเชิงการนับ)

ความสัมพันธ์ระหว่าง

X

กับ

Y

ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข (1) นั่นคือฟังก์ชันหลายค่า ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันหลายค่า แต่ฟังก์ชันหลายค่าไม่ทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชัน ความสัมพันธ์ระหว่าง

X

กับ

Y

ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข (2) นั่นคือฟังก์ชันบางส่วน ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันบางส่วน แต่ฟังก์ชันบางส่วนไม่ทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชัน "ฟังก์ชัน" คือความสัมพันธ์ที่เป็นไปตามเงื่อนไขทั้งสองเงื่อนไข

ดูตัวอย่างต่อไปนี้

Multivalued function.svg

สมาชิก

3

ใน

X

สัมพันธ์กับ

b

และ

c

ใน

Y

ความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชันหลายค่า แต่ไม่เป็นฟังก์ชัน

Partial function.svg

สมาชิก 1 ใน

X

ไม่สัมพันธ์กับสมาชิกใดๆเลยใน

Y

ความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชันบางส่วน แต่ไม่เป็นฟังก์ชัน

Total function.svg

ความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชันจาก

X

ไปยัง

Y

เราสามารถหานิยามฟังก์ชันนี้อย่างชัดแจ้งได้เป็น

f=\{ (1,d) , (2,d) , (3,c) \}

หรือเป็น

f (x) =\left\{\begin{matrix} d, & \mbox{if }x=1 \\ d, & \mbox{if }x=2 \\ c, & \mbox{if }x=3. \end{matrix}\right.

ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น

สมัครสมาชิก: ส่งความคิดเห็น (Atom)